数学开窍的智力原理(5)：降智学习与开智学习

在前面我们讨论了数学开窍的智力原理(1)：智力的本质，文中指出：

数学学习是智力游戏，智力是操控概念的能力。

为什么大多数同学，在数学上智力水平不足，容易掉链子呢？

而为什么极少数的顶尖学神，表现出非常高的智力优势呢？

核心原因并不是所谓天赋，而是执行两种学习路线的结果：

• 降智学习法：碎浅学习
• 开智学习法：通透学习

今天的应试教育，就是基于降智的碎浅学习，它阻碍了同学们的智力发展，导致大家越来越跟不上数学节奏。

而顶尖同学，则是有意识或者无意识的，持续在进行开智的通透学习，从而越学越聪明。

本篇，将会帮助大家对这两种学习的基础概念进行分析掌握，从而为理解和变革学习打下概念基础。

降智的碎浅学习 vs 开智的通透学习

首先我们来看一下，降智的学习，和开智的学习，到底差别在哪里。

首先来看这两者的名字。

碎浅和通透，是对应的。

前者是零碎的学习知识和解题，「碎」。而后者则是以整体思维驱动，追求知识的关系和贯通，要「通」。

前者满足于肤浅的认知，所以老师经常说「不懂没关系，背下来会做题就可以」，很「浅」。然而后者却是追求深度的理解、真正的掌握，要「透」。

这样综合起来，前者满足于「零碎肤浅」，导向了「降智」；后者致力于「贯通透彻」，导向了「开智」。

所谓种瓜得瓜，种豆得豆。

尤其是日积月累，大家看上去每天在学习同样的教材，做同样的题目，有同样的老师，却有截然不同的水平。

这两种学习方式，更多的对比可以参考下表：

费曼论碎浅学习：苏格拉底的讽刺

物理学家费曼，1965年诺贝尔奖获得者，曾经受邀到巴西讲学。

他在课堂上注意到一个奇特的现象：巴西学生在回答问题时总是对答如流，能完美地背诵出各种复杂的科学定律和术语的定义。他们似乎掌握了深厚的知识，这让费曼感到满意。

然而，在学期末的一次讲座中，他决定深入探究学生是否真正理解了这些定义背后的物理现实。他提出了一个关于「摩擦发光」的例子。他读出了教科书上的标准定义：「摩擦发光是晶体在摩擦时发出的光。」

学生们听完定义的重复，安静无声。

费曼追问：「很好，这是定义。但你们摩擦的是什么晶体？有没有见过这种现象？为什么会发光？」

学生们鸦雀无声，面面相觑。他们对「摩擦发光」的唯一认知就是那句定义，从未在现实中观察过，更未动手做过实验。他们记住了名称，却完全不理解实质。

为了更形象地说明这种「只背诵、不理解」的荒谬性，费曼讲了个比喻性的故事。

一位语言学家在异国他乡遇到了一名即将以优异成绩获得古希腊语学位的学生。语言学家问学生：「苏格拉底是如何看待真理与美之间的关系的？」

这位优秀学生一脸茫然，完全答不上来。

语言学家感到困惑，于是换了一个更具体的问题：「在《苏格拉底对话录》的第三卷中，苏格拉底对柏拉图说了些什么？」

出乎意料的是，学生立刻兴奋起来，用抑扬顿挫、近乎完美的古希腊语，一字不差地背诵了整整一大段对话。

然而，学生背诵的那段对话，其核心内容正是关于真理与美关系的深入探讨。

费曼描述的场景，是在上个世纪的巴西。然而今天在我们的课堂上，这种现象依然普遍存在。

碎浅学习市场广大。

研发驱动的学习 vs 复制驱动的学习

在知乎上有个问题：

为什么都是早上7点到学校学习，晚上9点下课，大家学习效果千差万别，到底差异在哪里？

我们看大多数公司，他们的利润率很低，甚至在生存的边缘，而一些顶尖科技公司，他们利润率很高，还有规模效应。这两种公司，到底差异在哪里呢？

从国家的角度来看，我们知道中国也一直在希望要进入高端产业，在不断地优化产业结构。那么到底什么是高端产业？什么是低端产业？

一个简单粗暴的理解就是，所谓高端产业往往是科技含量高，研发密集型；而低端产业则是科技含量低，劳动密集型。

同样的道理，大多数公司往往是劳动密集型，做的主要是搬运复制的活，靠简单重复劳动赚钱，赚的是辛苦钱。

而顶尖科技公司往往是科技含量高，研发密集，很大程度赚的是科技创新的钱。

与此类似的，在学校里面大多数人包括学霸。本质上依然是低端的产业，或者说低端公司。

学霸算是低端公司当中的过得不错的那批，就像低技术的产业里面依然有赚钱的公司，他们本质上走的是搬运复制路线，靠的是劳动吃饭。

而学神则更像是学习当中的高端科技公司，走的是科技研发路线。

因此他们的战术和动作的出发点就是不一样的。这也就决定了整个学习生产力的根本差异。

• 降智碎浅的学习：复制驱动
• 开智通透的学习：研发驱动

举个例子，学神的学习常常是带着问题去做研究的。比如同样是学高中数学，大多数学生甚至学霸可能等着老师讲，老师讲什么我就学什么，或者书上说什么我就学什么。然后记笔记，就是把老师讲的话给搬运过来，缺乏自己的研究思考和创造。

而学神就反过来了，比如学神可能会去研究，高中数学为什么要学这些东西呢？为什么会是这样的进度安排呢？高中数学课本是怎么设计出来的呢？考纲又是如何制定的呢？是如何命题的呢？这就是从研究出发的学习。

我们讲学问学问，其实「学问」只是结果，而「问学」才是过程，要有疑问并且带着疑问去学习。而大多数同学他们其实没啥疑问。上课只是在被动的吸收、复制、搬运。

要从碎浅路线转型到通透路线，学习的起点就要发生变化，从低阶的搬运复制转向高阶的研究创造。

研发路线的落实起点：布鲁姆分类法

那到底如何落实这件事情呢？这里就涉及到教育学的一个重要知识点，叫做布鲁姆分类法。

布鲁姆分类法这个名称，来源于它的一个关键设计者布鲁姆。最早它是用来帮助设计教学目标评估学习掌握度的。

它把学习的目标/掌握度分为6个层次：

这6个层次如何理解呢？我们就拿发动机引擎来举个例子：

你能够记住发动机引擎的概念，这就是记忆层次的掌握；如果你能够举例说出，或者识别发动机引擎，这就到了领会层次；到了应用层次，就是你能知道发动机引擎可以如何使用。

而分析这个层次的要求就更高。

分析是你能够理解发动机引擎的内部工作原理，包括诸如：

1）发动机引擎内部有什么样的组件？（结构）

2）这些组件之间是如何相互作用的？例如气缸活塞之间是如何相互作用的等。（流程）

也就是说应用这个层次，你是把事物或者当做黑盒子从外部去使用。而分析这个层次，你需要去了解这个知识或者事物的内部结构，搞清楚它的运作原理，从而进行分析。

在布鲁姆分类法原始的定义中，关注的是内部结构和流程分析。

而我自己的补充是，除了分析事物自身的内在结构，分析层次也意味着需要把事物放到更大的体系中去看，它在体系中的位置是什么，跟其它事物有什么关系，是如何互动的？

例如发动机引擎，它在汽车这个整体中，处于什么位置？起到什么作用？跟其它部件（比如底盘、轮胎等）是什么关系，会如何互动？

这样两方面结合，分析就完整了。

而评价则是指你能够对发动机引擎进行评价，比如他们的效能怎么样，有什么优缺点？适合用在什么地方？

最后，在创造层，则是指你可以基于你对这些知识事物的理解去改进现有的发动机，甚至创造出新的发动机。

这6个层次可以分为两大块。

• 复制驱动：关注记忆、领会、应用
• 研发驱动：关注分析、评价、创造

复制驱动的学习，关注下三层。

在学校里面，我们经常听到老师讲说你们要背诵，把这些知识点都记住，你们要能够熟练的应用。其实这种思维都是局限在下三层的。

而同学们，记笔记往往是把老师讲的记一遍，做题是把正确答案抄一遍，这也是典型的复制驱动的学习。

然而通透学习的路线恰恰相反，上手就是关注上三层。

比如学神关注事物的内部结构，搞清楚它们的原理。这就是在分析层次上的运作。

而关注上三层，通常也就自然的会拉动下三层的掌握。所以学神不死记硬背，但他们的记忆还是深刻很多。

而且各科学习透彻的人，能够徒手自行推导知识体系。从一些基本概念开始，就把学科的知识体系给推导出来。这也就意味着他们自己能够创造出学科的知识体系。这也就是在创造层次上的，掌握了整个学科。

所以我以前中学就对其他同学说，为什么你们要去记公式呢？核心的就那么些内容，剩下的都可以推导出来。很多时候你只要会推导，自然也就记住了。即使记不住现推也非常快。

这事对我来说很容易，因为我本身已经就实现了对学科整体的创造能力，能够从头把知识体系推出来，这也是因为我日常就在上面三层运作。

反过来我的同学做不到，他们日常都没干过这些分析创造的事情。最多关注怎么套公式，如何背诵记忆。所以看上去都是在学习，学习的起点和最终的掌握度，却有层次上的截然不同。

两种战术体系：反复刷题 vs 一次搞定

要学好理科，我们需要首先理解学科的知识体系，然后把它内化为自己的知识结构。

这就像玩积木游戏。

每个学科，都有自己的知识体系。而且越是理科，知识体系的内在逻辑性强关联度高，环环相扣。

这样，学科自身就像是一个成型的积木大厦模型。

我们需要首先去拆解这个模型，分析它到底是怎么造出来的，有哪些基本元素，是如何一步一步组合更高的楼层的。

那么，拆解清楚了，我们再自己按照这个逻辑，把积木给搭起来。

如果别人怎么搭的都没搞清楚，自己搭建就有麻烦。

在现实中，因为模型巨大复杂，这个工作，是交互进行的。

我们拆解一部分，自己搭一部分，然后继续拆解、搭建。

例如听课，一方面是理解老师、教材的内容，一方面就是自己建立起内化的知识体系。

学习顶尖的人，他们拆的很透，搭的很牢。对于各个积木了如指掌，因此哪怕遇到新的模型（题目），也很快可以搭建或者拆解出来。

从这个角度，从积木游戏的角度，学习就像是：

• 拆积木（理解学科知识体系）
• 搭积木（创建学科知识体系）
• 稳积木（巩固学科知识体系）

这三个动作，是环环相扣的。

如果拆解都成问题，那么你就很难搭出来。哪怕是搭出来了，也不稳固，要在后续稳固上大量花时间，还有倒塌风险。

要建设高度通透的知识体系，就要循序渐进做好3个步骤。

而在应试教学中占据主导地位的、满足于零碎肤浅一知半解、追求熟练度的学习，是反过来的。

在理解上大条、在建构上粗糙，导致知识严重碎片化。

这样一来，很难搞定知识和题目，巩固任务就特别繁重而低效，导致大量的补习、反复刷题。

因此就成了大头症。

尽管花费天量时间去巩固，然而并不能带来学习效果的本质改变。

因为缺乏基础。

要实现革命性的效果，核心在于理解、建构、巩固的循序渐进，实现三个高质量。

分析、评估、创造：各环节学习质量关键

回顾布鲁姆分类法，我们谈到学习目标/掌握度的6个层次：

其中对于理科学习至关重要的上3层：分析、评估、创造。

再思考本章谈到的，理科学习的3个步骤：理解、建构、巩固。

它们之间，有什么样的关系呢？

好啦，这里要敲黑板了，重点出来了。

我们可以看到，在知识体系建设的3个战术环节，每一个环节的关键学习活动，正好对应着布鲁姆分类法，上三个层次中的一层。

1）理解学科知识体系：分析驱动

要理解学科知识体系体系，就需要进行深度分析：

• 课程中包含哪些知识点？
• 这些知识点有怎么样的相互关系？
• 课程的授课逻辑是什么？
• 知识体系演化的脉络是什么？

2）建构学科知识体系：创造驱动

在建构环节，核心任务是把知识体系创造出来，具备自己来推导产生学科知识体系的能力。

这一环节，首先要基于第一环节对之体系的深入分析理解，同时还要加入自己的创新。

例如对「集合的概念」一节的建构中，除了课本上原有的知识点，基于分析，还归纳创造「集合的性质」这些结构性知识点。

而发现跟集合表示的相关知识点比较多，难以清晰理解，归纳创造出「集合表示的3个层次」，最终有效的支持、创造了这一节的知识体系。

3）巩固学科知识体系：评估驱动

在巩固环节，有两个基本任务：评估和改进。

• 评估：发现问题
• 改进：解决问题

如果没有精准的评估，那就很难精确定位问题，容易头疼医头脚疼医脚，甚至没病的地方砍上一刀。

在传统的学习中，同学们普遍忽视评估的重要性，也缺乏精准评估的能力。因此很容易快速去改进表面问题，从而造成大量无用功。

为什么学习没效果？3个忽略3个强行

前面我们谈到两种学习战术体系：

高质量的学习，体现为右边底盘扎实的正金字塔健美先生。

然而大多数同学，在三个环节上普遍动作变形，就成了左边的大头病人。

天天刷题改错题，订正了不少，还是错题满天飞跟不上节奏。

那么为什么会形成这种变异呢？

从每个环节的学习质量角度来说，满足于零碎和肤浅、追求熟练的应试学习，存在「3个忽略、3个强行」。

在学校里我们经常听到这样的话：

不懂就先记下来，关键是要多做题，能熟练应用。

这种思想非常之糟糕，很容易导致你理科学习一塌糊涂。

1）不懂就先记下来

这就是在「理解学科知识体系」的阶段，出现了问题，不去进行深入分析，强行记忆。

2）关键是要多做题

都没理解，课本的知识结构都没建立起来，就想要开始刷题，强行巩固了。

3）缺乏对「不懂」的深入评估

不懂，到底哪里不懂？是看了书本定义完全不知道说啥，或者跟不上老师的节奏？具体在什么地方跟不上节奏的？

是对这个知识点本身不理解，还是前置的基本知识没有掌握？

这些都需要进入更深入的评估，来发现「不懂」的根源，从而可以对症下药。

但上面这句话，轻飘飘就跳过了深入的评估，强行改进（记忆）。

缺乏分析、缺乏创造、缺乏评估。

只想着记忆和应用，只关注布鲁姆分类法的下三层。对上三层的活动缺乏重视，也没有对应的能力。这也就必然导致「理解、建构、巩固」整个战术体系的变形，费力不讨好。

要实现开智学习，就要有实操的通透学习方法

到这里，本篇已经对「学习」这个基本概念进行了深化，帮助大家建立了「碎浅学习」和「通透学习」两个核心概念。

理解这两个概念，你在理论上就明白了为什么努力学习还是理科弱鸡，什么才是有效的学习。

还是要强调一点，如果你学习不行，首先就是「基本概念不过关」，而非刷题不够多。